一、考试的基本要求 《数学分析》考试大纲适用于报考深圳大学基础数学、应用数学专业硕士研究生的入学考试。本考试是为招收基础数学、应用数学专业硕士生而拟设的具有选拔功能的考试。 其主要目的是测试考生对数学分析最基本内容的理解、掌握和熟练程度。要求考生熟悉数学分析的基本理论、掌握数学分析的基本方法, 具有较强的抽象思维能力、逻辑推理能力和运算能力。 二、考试内容和考试要求 1．极限与连续 数列极限、函数极限、函数的连续性和一致连续性、闭区间上连续函数的性质。 (1)掌握数列极限与函数极限的概念，理解无穷大（小）量的概念及基本性质； (2)掌握极限的性质（唯一性、有界性、保号性）及四则运算性质、单调有界收敛定理、Cauchy收敛准则、迫敛性（两边夹、夹挤）原理、两个重要极限； (3)掌握函数的奇偶性、单调性、周期性、有界性等特殊性质； (4)掌握连续性的概念及间断点的分类，掌握初等函数的连续性； (5)掌握闭区间上连续函数的性质：有界性、最值性、介值性（零点定理）、一致连续性。 2．一元函数微分学 导数、微分、求导运算与法则、微分运算、微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式、函数单调性、极值与最值、凸性与拐点。 (1)理解可导与可微、可导与连续的概念及其相互关系，理解导数的几何意义；理解函数极值点与极值、凸性、拐点等概念； (2)掌握（高阶）导数、微分的四则运算与复合函数求导运算法则，掌握左、右导数的概念以及分段函数求导方法，掌握导函数的介值定理； (3)会用导数研究函数的单调性与极值性，会用二阶导数研究函数的凸性与拐点； (4)掌握微分中值定理及其在根的判定、不等式、不定式极限（洛必达法则）等方面的应用； (5)掌握泰勒公式及其在极限、极值点判定等方面的应用； (6)掌握极值与最值的求法、凸的等价定义、以及凸性在不等式等方面的应用。 3．实数的完备性 区间套、聚点、开覆盖的概念。 （1）理解聚点概念及其刻画，理解区间套、开覆盖等概念； （2）理解关于实数完备性的六大基本定理及其证明思想； （3）会用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性（零点定理）、一致连续性。 4．一元函数积分学 不定积分、定积分、换元法与分部积分法、牛顿莱布尼兹公式、变上限积分、积分中值定理、定积分在几何中的应用、无穷积分、瑕积分。 (1)掌握原函数、不定积分的概念及其基本性质； (2)熟记不定积分的基本公式，掌握换元积分法和分部积分法，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分； (3)掌握定积分的概念、可积条件、可积函数类； (4)掌握定积分的性质，熟练掌握微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理； (5)掌握变上限积分的性质； (6)能用定积分计算平面图形的面积、弧长、旋转体的体积与侧面积； (7)理解广义积分收敛的概念、Cauchy收敛准则，掌握广义积分收敛性的比较判别法，无穷积分的狄利克雷判别法、阿贝尔判别法。 5．无穷级数 数项级数、绝对收敛和条件收敛、判别法、函数项级数、一致收敛、幂级数、收敛半径、收敛域、（幂级数）泰勒级数、傅立叶级数。 (1)理解数项级数敛散性的概念，掌握数项级数的基本性质； (2)掌握正项级数的比较判别法和根式判别法； (3)掌握任意项级数的狄利克雷判别法和阿贝尔判别法； (4)掌握函数项级数（函数列）一致收敛性判别法、一致收敛函数项级数（函数列）的性质； (5)掌握幂级数收敛半径与收敛域的概念与求法、幂级数的性质， 能够将函数展开为幂级数； (6) 掌握周期函数傅立叶级数的展开与收敛性。 6．多元函数微分学 多元函数的极限与连续、全微分、（高阶）偏导数、方向导数、泰勒公式、隐函数求导及几何应用。 (1)掌握多元函数极限、偏导数、全微分、方向导数的概念及其求法； (2)掌握高阶偏导数的计算、低阶泰勒公式的计算； (3) 掌握多元函数的极值、条件极值的概念及其判别； (4)掌握隐函数求导方法及其几何应用。 7．含参变量积分 含参变量正常积分，含参变量反常积分、格马函数、贝塔函数 (1)掌握含参变量正常积分的分析性质； (2)掌握含参变量反常积分的一致收敛性及判别法； (3)掌握含参变量反常积分的分析性质； (4)掌握格马函数与贝塔函数的性质与相互关系； 8．重积分、曲线积分和曲面积分 重积分、重积分计算、第一（二）型曲线积分、第一（二）型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式 (1) 理解重积分、第一（二）型曲线积分、第一（二）型曲面积分的概念、基本性质与几何意义； (2) 掌握二重积分与三重积分的常用计算方法及几何应用； (3) 掌握第一（二）型曲线积分、第一（二）型曲面积分的计算； (4) 掌握并能运用格林公式、高斯公式、斯托克斯公式。 三、考试的基本题型 主要题型可能有：判断题、填空题、计算题、证明题等。试卷满分为150分。 |
一、考试基本要求 本考试大纲适用于报考深圳大学应用数学专业和基础数学专业的硕士研究生《高等代数》科目的入学考试。它的主要目的是测试考生是否系统地学习和掌握了高等代数的知识, 代数的思维方式, 以及现代数学的思想和方法. 要求考生具有一定的抽象思维能力、较强的逻辑推理能力和运算能力。 二、考试内容和考试要求 1．一元多项式 了解：数域的概念与性质、一元多项式环的概念、P[x]中n次多项式在数域P中的根不可能多于n个、多项式的因式分解. 理解：因式分解及唯一性定理、重因式的概念、余数定理、根与一次因式的关系、复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理. 掌握：多项式的概念、多项式的运算及性质、整除的概念与性质、带余除法定理及证明、最大公因式的概念与求法（欧几里德算法）、多项式互素的概念与性质、多项式互素的概念与性质、判别多项式f(x)有无重因式的方法、本原多项式的概念及性 整系数多项式有理根的理论与方法、 Eisenstein判别法. 2．行列式 了解：行列式概念的引出及应用、排列、排列的逆序数、偶排列与奇排列的概念与性质排列、排列的逆序数、偶排列与奇排列的概念与性质、拉普拉斯定理. 理解：对角形行列式的性质、子式和代数余子式、行列式的乘法定理. 掌握：n级行列式的定义、行列式的性质、简化行列式的计算、行列式按一行（列）展开定理、Cramer法则及应用. 3. 线性方程组 了解：线性方程组初等变换的概念及性质. 理解：线性组合和线性表出以及两个向量组等价的概念、矩阵秩的概念、矩阵k级子式的概念及矩阵秩为r的充分必要条件、向量组线性相关性与齐次线性方程组解的关系. 掌握：利用初等变换（消元法）解线性方程组的方法、矩阵的初等变换、数域P上的n维向量的概念及运算规则、向量组线性相关、线性无关的概念及基本性质、求向量组的极大线性无关组与秩、计算矩阵秩的方法、线性方程组有解判别定理、齐次线性方程组解的性质及基础解系的概念、齐次线性方程组基础解系的方法、非齐次线性方程组解的结构定理. 4. 矩阵 了解：矩阵乘积(为方阵时)的行列式与秩和它的因子的行列式与秩的关系、可逆矩阵与矩阵乘积的逆与秩的关系、分块矩阵及分块矩阵的运算规律及应用. 理解：矩阵A可逆及逆矩阵的概念、初等矩阵的概念与性质、矩阵等价的概念、任一矩阵都与其标准形等价. 掌握：矩阵的加法、乘法、数量乘法及矩阵的转置定义及性质、伴随矩阵与逆矩阵的关系、初等变换与初等矩阵的关系及矩阵A与B等价的充要条件、判定可逆性和求逆矩阵的方法. 5. 二次型 了解：二次型、二次型矩阵的概念及二次型的矩阵表示、复二次型、实二次型的规范形及规范形的唯一性（惯性定理）. 理解：矩阵合同的概念及性质、二次型的标准形概念、任一对称矩阵都合同于一对角矩阵. 掌握：用非退化线性替换化二次型为标准形的方法、正定二次型及正定矩阵的概念、二次型为正定的充分必要条件及正定矩阵的性质. 6. 线性空间 了解：集合，映射的概念、线性空间的定义与简单性质、子空间的概念、直和的概念． 理解：线性空间维数、基与坐标的概念、子空间交与和的概念、维数公式、数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件． 掌握：过渡矩阵的概念及坐标变换公式、线性空间V的非空子集W成为子空间的条件、生成的子空间概念及性质、掌握V1+V2是直和的充分必要条件、同构概念及性质． 7. 线性变换 了解： 线性变换的简单性质；线性变换的乘法、加法、数乘、逆变换的概念与性质、特征子空间概念、Hamilton-Caylay定理． 理解：相似矩阵的概念与性质、线性变换的值域与核的概念及主要性质、不变子空间的概念及主要性质. 掌握：线性变换的概念、恒等变换、数乘变换、线性变换在某基下的矩阵的概念、在取定一组基后，线性变换与n×n矩阵1—1对应、用线性变换矩阵计算向量的象的坐标的公式、线性变换在两组基下的矩阵之间的关系、特征值与特征向量的概念以及求特征值与特征向量的方法、n维线性空间的一个线性变换在某基下的矩阵为对角矩阵的充分必要条件及判别办法、矩阵相似于一个对角矩阵的条件． 8.欧几里得空间 了解：欧氏空间同构的概念及条件. 理解：欧几里得空间的定义及基本性质、向量长度的概念、单位向量、柯西-布涅柯夫斯基不等式、夹角的概念． 掌握：正交向量及性质、度量矩阵的概念；标准正交基定义、熟练掌握施密特正交化过程以及正交对角化实对称矩阵 三、考试基本题型 主要题型可能有：选择题、填空题、判断题、计算题、证明题等。试卷满分为150分。 |
1.《常微分方程》（50%），指定参考书：《常微分方程》，王高雄等，高等教育出版社（第三版）； 2.《概率论与数理统计》（前八章）（50%），指定参考书：《概率论与数理统计》，盛骤，谢世千等，高等教育出版社（2004年，第二版）； |
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